Cuestiones sobre los determinantes

43.   Considera la siguiente matriz:

a)   Halla la matriz adjunta de A.

b)   Prueba que  .

c)   ¿Qué relación hay entre    y  ?

44.   Halla, si existe, una matriz A cuadrada  que cumpla las siguientes condiciones:

a)   Coincide con su traspuesta.

b)   Verifica la ecuación matricial  .

c)   Su determinante vale 9.

45.   Determina  las  matrices  cuadradas  de  orden  2  cuyos  elementos  sean  números  enteros,  con  determinante  igual  a   ,  y  tal  que  su  inversa  coincida  con  su  traspuesta.

46.   Sean A, B y X tres matrices cuadradas del mismo orden que verifican la relación A·X·B=I, siendo I la matriz identidad.

a)   Si el determinante de A vale   y el de B vale 1, calcula razonadamente el determinante de X.

b)   Calcula la matriz X si    y  .

47.    

a)   Comprueba que la matriz    cumple que    y calcula la matriz inversa de A.

b)   Si A es cualquier matriz de n filas y n columnas tal que    y se sabe que det (A) = m, calcula el valor del determinante de A+I en función de m.

48.   Dadas las matrices  ,  , sean B^t la matriz traspuesta de B e I la matriz identidad de orden 3.

a)   Estudia, según los valores del parámetro  , el rango de  .

b)   Calcula la matriz X que verifica:  .

49.    

a)   Sea M una matriz cuadrada de orden 2 tal que M² = 4M. Determina la matriz X que verifica la ecuación matricial  , siendo I la matriz identidad de orden 2.

b)   Determina todas las matrices B de la forma    que verifiquen  B² = 4B. Si alguna es inversible, calcula su inversa.

50.    

a)   Estudia, según los valores de m, el rango de la matriz  .

b)   ¿Coincide A con su inversa para algún valor de m?.

c)   Determina una matriz simétrica X de orden 2 tal que    y el determinante de la matriz 3X sea  .