Discutir el rango de matrices en función de un parámetro

38.   Calcula la matriz X de las siguientes ecuaciones:

a)   , siendo:

b)   , siendo:

39.   Estudia el rango de las siguientes matrices según el valor del parámetro k:

40.   Utilizando el método de Gauss, discute el rango de la matriz B según los valores del parámetro a:

41.   Responde razonadamente a las siguientes preguntas:

a)   ¿Existe siempre el producto  , siendo A una matriz cualquiera? ¿Por qué?

b)   ¿El producto de dos matrices simétricas de la misma dimensión es también una matriz simétrica? ¿Por qué?

42.   Sean A, B y C tres matrices tales que su producto A·B·C es una matriz de dimensión 3x2 y el producto A·C^t es una matriz cuadrada, siendo C^t la matriz traspuesta de C. Calcula, razonando la respuesta, las dimensiones de A, B y C.

43.   En un edificio hay tres tipos de viviendas: L3, L4 y L5. Las viviendas L3 tienen 4 ventanas pequeñas y 3 grandes; las L4 tienen 5 ventanas pequeñas y 4 grandes, y las L5, 6 pequeñas y 5 grandes.

Cada ventana pequeña tiene 2 cristales y 4 bisagras, y las grandes, 4 cristales y 6 bisagras.

a)   Escribe una matriz que describa el número y el tamaño de las ventanas de cada vivienda y otra que exprese el número de cristales y bisagras de cada tipo de vivienda.

b)   Calcula la matriz que exprese el número de cristales y bisagras de cada tipo de vivienda.