Galicia. Examen EBAU resuelto de Matemáticas II. Julio 2024

PREGUNTA 5. Geometría

Considérense el plano  y la recta r que pasa por los puntos A(2, 1, 2) y B(0, 1, 1). Se pide:

a)  Estudiar la posición relativa de la recta r y el plano .

b)  Obtener la ecuación implícita o general del plano que contiene a r y es perpendicular a .

 

a)   La recta queda definida con un punto y un vector director. Es decir:

De la ecuación general del plano podemos obtener fácilmente un punto, dando dos valores cualesquiera a dos de las coordenadas y calculando la otra: 

 

El vector normal del plano son los coeficientes de las variables:

 

 

Así entonces tenemos un punto y el vector normal del plano:

 

 

Vamos a comprobar si la recta y el plano son o bien paralelos o la recta está contenida en el plano. En ese caso el vector director de la recta y el normal del plano serían perpendiculares y, por lo tanto, el producto escalar de los vectores tendría que ser igual a cero:

 

 

 

Vemos que efectivamente cumplen esta condición y para saber si la recta es paralela al plano o si está contenida en el mismo, basta con comprobar si cualquier punto de la recta pertenece al plano o no:

 

 

Como vemos el punto no es del plano, por lo tanto, la recta r es paralela al plano .

 

 

b)  Para calcular la ecuación del plano necesitamos un punto, nos vale el punto A de la recta ya que esta está contenida en aquel. También nos hacen falta dos vectores contenidos en el plano que serían el vector director de la recta r y el normal del plano :

 

 

El plano que nos piden es: