Galicia. Examen EBAU resuelto de Matemáticas II. Junio 2024

PREGUNTA 3. Análisis.

a)  Enuncie los teoremas de Rolle y de Bolzano.

b)  Calcule 

 

a)   Enunciamos el teorema de Rolle:

 

Sea  una función continua en , derivable en  y que cumple que . Entonces existe por lo menos un .

 

Como vemos si tenemos que dibujar una función continua y derivable en un intervalo y la imagen de los extremos del intervalo es la misma, es decir, gráficamente la función empieza y termina en el mismo valor de y, nos quedará uno o varios máximos o mínimos. En esos puntos la recta tangente a la función va a ser horizontal, por lo tanto, la derivada de la función (que nos da la pendiente de la recta) en esos puntos es cero.

 

 

 

El enunciado del teorema de Bolzano sería el siguiente:

 

Sea  una función continua en  y que toma valores de signos contrario en los extremos, es decir, . Entonces existe por lo menos un .

 

En este teorema es muy importante que la función sea continua porque esto nos permite representar la gráfica sin levantar el lápiz del papel. Como además las imágenes del extremo del intervalo toman signos opuestos tenemos que cortar al eje X por lo menos una vez. Y ese es el punto en el que la imagen es cero. Es decir, nos permite asegurar que una función tiene raíces:

 

 

 

 

b)  La integral vamos a resolverla por partes:

 

 

 

 

La integral quedaría:

 

 

 

 

 

La solución a la integral es entonces: