Galicia. Examen EBAU resuelto de Matemáticas II. Julio 2024

El examen consta de 8 preguntas de 2 puntos, de las que se puede responder un MÁXIMO DE 5, combinadas como quiera. Si responde a más preguntas de las permitidas, sólo se corregirán las  5 primeras respondidas.

 

PREGUNTA 1. Números y Álgebra.

Si , dé respuesta a los dos apartados siguientes:

a)  Calcule los valores de x e y que hacen que A conmute con todas las matrices antisimétricas X de orden 2, es decir, que hacen que se cumpla la igualdad  para toda matriz antisimétrica X de orden 2.

b)  Si  e , calcule la matriz M que satisface la igualdad .

 

a)  Una matriz antisimétrica es una matriz cuadrada cuya traspuesta es igual a su opuesta, es decir, . Los elementos de la diagonal principal son cero y los que están en la parte superior de la diagonal principal tienen distinto signo con respecto a los que están por debajo. De forma general una matriz antisimétrica de orden 2 será:

 

Para calcular los valores que da la matriz A que hace que conmute con esta matriz X multiplicamos las dos matrices en ambos sentidos:

Como vemos para que las dos matrices sean iguales y cumplan la condición necesaria para que la matriz conmute, el valor de  y el de , que son justo los que nos dicen en el apartado siguiente.

 

b)  Vamos a despejar la matriz M de la ecuación que nos dan. Para eso primero pasamos para el mismo miembro todas las matrices M:

 

 

Sacamos factor común la matriz M por el lado derecho:

 

 

Por último, multiplicamos por la inversa de la matriz que tenemos acompañando a M:

 

 

 

Operamos y lo hacemos calculando la matriz inversa de A:

 

 

 

 

 

 

 

Ahora calculamos la otra matriz y su inversa:

 

 

 

 

 

 

 

Multiplicamos, en el orden correcto, las dos matrices inversas calculadas:

 

 

 

 

La matriz que nos piden es: