Galicia. Examen EBAU resuelto de Matemáticas CC.SS.. Junio 2024

El examen consta de 6 ejercicios, todos con la misma valoración máxima (3,33 puntos), de los que puede realizar un MÁXIMO DE 3, combinados como quiera. Si realiza más ejercicios de los permitidos, sólo se corregirán los TRES primeros realizados.

 

EJERCICIO 1. Álgebra. Considere la ecuación matricial , en donde  denota la matriz traspuesta de B, siendo A y B las matrices siguientes:

 

 

a)  Calcule, si es posible, la inversa de la matriz A y el rango de la matriz B.

b)  Despeje la matriz X en la ecuación matricial y, a continuación, calcule su valor.

 

a)   Una matriz tiene inversa siempre y cuando el determinante de esta sea distinto de cero:

 

 

 

Como el determinante de la matriz A es distinto de cero, la matriz tiene inversa. La calculamos aplicando la fórmula:

 

 

Calculamos la matriz adjunta:

 

 

 

Calculamos la matriz traspuesta:

 

 

Por lo tanto, la inversa sería:

 

 

 

El rango de una matriz es el mayor de los órdenes de los menores no nulos que podemos encontrar en la matriz. Para saber si tiene rango 3 vamos a empezar calculando el determinante de orden 3:

 

 

El rango es menor de 3 ya que no hay un determinante de este orden distinto de cero. Buscamos ahora un determinante de orden 2 distinto de cero:

 

 

Por lo tanto, el rango de la matriz B es 2.

 

b)  Despejamos la matriz X pasando primero la matriz B para el otro miembro y después multiplicando por la inversa de la matriz A en ambos lados:

 

 

 

 

Ahora hacemos los cálculos para obtener la matriz X: