Galicia. Examen EBAU resuelto de Matemáticas CC.SS.. Junio 2024

EJERCICIO 3. Análisis. El número de vehículos vendidos por un concesionario a lo largo del último año se estima que viene dado por la función:

 

 

en donde t es el tiempo transcurrido en meses.

a)  Determine los períodos de crecimiento y decrecimiento del número de vehículos vendidos. ¿Cuál ha sido el mayor número de vehículos vendidos? ¿Y el menor? ¿En qué momentos se han producido? Justifique sus respuestas.

b)  Con la información del apartado anterior, representa la gráfica de la función.

c)   ¿Hubo  algún  período  del  año  en  que  el  número  de  vehículos  vendidos  haya  sido inferior a 12 unidades? Justifique su respuesta.

 

a)   Para calcular el crecimiento y decrecimiento de la función hacemos la primera derivada:

 

 

Igualamos la derivada a cero para calcular los puntos críticos:

 

 

Miramos el signo de la primera derivada en los intervalos resultantes:

 

 

 

Vemos que las ventas de vehículos aumentan los cuatro primeros meses, después decrecen entre el cuarto y el décimo mes y, por último, del décimo al duodécimo mes vuelven a aumentar:

 

 

 

La función tiene un máximo en t = 4, porque antes la función crece y después decrece y un mínimo en t = 10 porque antes la función decrece y después crece. Para saber los valores máximos y mínimos tenemos que ver qué valores toma la función en el máximo y en los extremos de cada uno de los trozos de la función:

 

 

 

 

 

 

Hay un máximo en las ventas en el cuarto mes con 28 vehículos vendidos y un mínimo en el décimo mes con 8 vehículos.

 

 

b)  Representamos los dos trozos de función, que son dos parábolas:

 

 

 

 

c)   En la gráfica se ve que hubo períodos en los que las ventas bajaron de 12 unidades. Para calcularlo analíticamente resolvemos las dos inecuaciones siguientes:

 

 

 

 

 

El resultado de la primera inecuación no nos da ningún resultado que se encuentre en el dominio de la función. Sin embargo, la segunda sí, por lo que entre el octavo y el doceavo mes las ventas de vehículos fueron inferiores a 12.