Galicia. Examen EBAU resuelto de Matemáticas II. Junio 2023

6.   Geometría:

a)  Calcule le punto simétrico de  con respecto al plano . 

b)  Estudie la posición relativa de las rectas      y     . Si se cortan, calcule el punto de corte.

 

a)  Para calcular el punto simétrico del punto  respecto del plano    vamos a calcular una recta t, perpendicular al plano que pase por el punto P. Por lo tanto, el vector director de esa recta llevará la misma dirección que el vector normal del plano: 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ahora vamos a calcular el punto M, es decir, el punto donde esta recta corta al plano. Para ello substituimos las ecuaciones paramétricas de la recta en el plano:

 

 

Con el valor del parámetro calculamos el punto sustituyéndolo en las ecuaciones paramétricas de la recta:

 

 

Este punto es el punto medio entre el punto P y su simétrico, P’:

 

 

b)  Vamos a escribir las ecuaciones paramétricas de ambas rectas:

 

 

 

Ahora, para calcular la posición relativa de las rectas igualamos las ecuaciones paramétricas de ambas y substituimos el valor de µ en las otras ecuaciones para calcular λ:

 

 

Como el sistema es compatible determinado y tiene, por lo tanto, una única solución, las rectas son secantes y se cortan en un punto. Para calcularlo basta con substituir λ en la recta r o µ en la recta s:

 

 

El punto de corte de r y s es