Galicia. Examen EBAU resuelto de Matemáticas II. Junio 2023

4.   Análisis:

Calcule el área de la región delimitada por las desigualdades ,  e , con . Haga un esbozo gráfico de la región. Nota:  es el logaritmo neperiano de x.

 

Primero vamos a dibujar la gráfica de la función f(x):

 

·    Dominio:

 

 

·    Cortes con los ejes:

 

o  Corte con el eje X:

 

 

Como el cero no es del dominio sólo tenemos un punto de corte:

 

o  Corte con el eje Y:

 

 

Como el cero no es del dominio, no hay punto de corte con el eje Y.

 

·    Crecimiento y decrecimiento:

 

 

 

 

 

 

·    Máximos y mínimos:

 

 

 

 

Con todo esto podemos dibujar la gráfica de la función y determinar el área que tenemos que calcular. En las desigualdades dibujamos sombreada la zona contraria a la que tenemos que determinar, de este modo tendremos que calcular el área de la zona que quede sin colorear:

 

 

 

 

Calculamos los puntos de corte:

 

 

 

 

Planteamos el área que nos piden, para ello la función que encierra por arriba esa región es la recta  y por la parte de abajo la función  entre los valores x = 1 y x = e:

 

 

Podemos resolver la integral por partes:

 

 

 

 

La integral quedaría:

 

 

 

Ahora podemos resolver la integral definida: