Galicia. Examen EBAU resuelto de Matemáticas II. Julio 2023

3. Análisis:

a)  Enuncie los teoremas de Rolle y del valor medio del cálculo diferencial.

b)  Explique si , está o no en las hipótesis del teorema del valor medio del cálculo diferencial. En caso de que lo esté, calcule un valor c para el cual se cumpla la tesis de ese teorema.

 

a)   Enunciamos el teorema de Rolle:

 

Sea  una función continua en , derivable en  y que cumple que . Entonces existe por lo menos un .

 

Como vemos si tenemos que dibujar una función continua y derivable en un intervalo y la imagen de los extremos del intervalo es la misma, es decir, gráficamente la función empieza y termina en el mismo valor de y, nos quedará uno o varios máximos o mínimos. En esos puntos la recta tangente a la función va a ser horizontal, por lo tanto, la derivada de la función (que nos da la pendiente de la recta) en esos puntos es cero.

 

 

 

El enunciado del teorema del valor medio sería el siguiente:

 

Sea  una función continua en  y derivable en . Entonces existe por lo menos un  .

 

En este caso el teorema nos dice que va a haber algún punto donde la recta tangente a la función va a tener la misma pendiente que la cuerda que pasa por los extremos de esta.

 

 

 

b)  La función que nos dan es continua en el intervalo  y derivable en el intervalo , porque todas las funciones irracionales lo son. Por lo tanto, cumple las hipótesis del teorema del valor medio del cálculo diferencial. Entonces existe  .

 

Para calcular el valor al que hace referencia el teorema, primero debemos hacer la derivada de la función:

 

 

Igualando esta derivada a la pendiente de la cuerda calculamos el valor que nos piden:

 

 

 

 

 

De los dos valores que obtenemos sólo nos vale el positivo porque es el único que pertenece al intervalo (0, 1). Es decir, el valor que cumple el teorema es: