Galicia. Examen EBAU resuelto de Matemáticas II. Junio 2023
3. Análisis:
a) Si , diga qué valores deben de tener a y b para que se cumplan
y
.
b) Estudie si la función tiene extremos relativos o puntos de inflexión en el intervalo
, diga donde están en caso de que existan y esboce la gráfica de f en ese intervalo.
a) Calculamos la imagen del cero:
Hallamos el límite:
Como sabemos que el numerador es cero, ya que es la imagen de cero de la función, aplicamos L’Hôpital para resolver la indeterminación:
Como el resultado del límite es 3, obtenemos el valor de a y a continuación el de b:
b) El dominio de la función f(x) es . Para calcular los extremos relativos hacemos la primera derivada y la igualamos a cero:
Como buscamos la solución en la primera vuelta nos quedamos con la solución . Hacemos la segunda derivada para comprobar si hay un mínimo, un máximo o nada:
Como vemos la función no tiene extremos relativos, algo que se comprueba fácilmente viendo la primera derivada, ya que siempre va a tomar valores positivos o como mucho cero. Así, la función siempre es creciente y por lo tanto no tiene extremos relativos.
Para hallar los puntos de inflexión igualamos a cero la segunda derivada:
Como nos quedamos con la solución de la primera vuelta, los posibles puntos de inflexión los tenemos en 00 y 1800. Comprobamos si lo son o no con la tercera derivada:
Calculamos la otra coordenada de estos puntos:
La función f(x) tiene dos puntos de inflexión en los puntos y
.
Así entonces, la gráfica sería así: