Galicia. Examen EBAU resuelto de Matemáticas CC.SS.. Julio 2023

PREGUNTA 4. Análisis. Dada la función     , .

 

a)  Calcule los valores del parámetro “a” para que f(x) tenga un punto crítico en x₀ = 3.

b) Para a = 3, estudie el crecimiento y decrecimiento de la función y sus máximos y mínimos, si existen. Estudie también sus intervalos de concavidad y convexidad y sus puntos de inflexión, si existen.

 

 

a)   Para calcular los puntos críticos tenemos que hacer la primera derivada:

 

 

Como debe tener un punto crítico en x = 3, entonces la primera derivada se anula para ese valor:

 

 

 

 

b)  La función para a = 3 nos queda:

 

 

Para calcular los puntos críticos, posibles máximos y mínimos de la función, tenemos que igualar la primera derivada a cero:

 

 

 

 

Teniendo en cuenta que el dominio de la función es , en los intervalos resultantes vemos el signo de la primera derivada para hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento:

 

 

 

Los intervalos de crecimiento y decrecimiento serán entonces:

 

 

 

Los posibles máximos o mínimos está en  y en  viendo los intervalos de crecimiento y decrecimiento sabemos que en el primer punto tenemos máximo relativo, ya que la función antes de ese punto crece y después decrece y, en el segundo, un mínimo relativo ya que la función antes decrece y después crece:

 

 

 

La función tiene un máximo relativo en el punto  y un mínimo relativo en .

 

Para estudiar la concavidad y la convexidad hacemos la segunda derivada e igualamos a cero:

 

 

 

La función no tiene puntos de inflexión, por lo que calculamos la curvatura con los intervalos del dominio y viendo el signo que toma la segunda derivada:

 

 

 

Los intervalos de curvatura serían: