Galicia. Examen EBAU resuelto de Matemáticas CC.SS.. Junio 2023

PREGUNTA 4.  Análisis. Los beneficios obtenidos durante el primer año (en cientos de euros) por un establecimiento dedicado al reparto de comida a domicilio vienen dados por la función:

 

 

en donde t es el tiempo transcurrido en meses desde la apertura del establecimiento.

a)  Calcule  el  valor  del  parámetro  a  teniendo  en  cuenta  que  B(t)  presenta  un  punto  de inflexión en t = 6.

b)  Para  ,  ¿cuál  ha  sido  el  mayor  beneficio  obtenido?  ¿En  qué  momento  o momentos se ha producido? Justifica las respuestas.

c)  Para , represente la gráfica de la función B(t) teniendo en cuenta la información anterior y el estudio de sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.

 

a)   Para calcular los puntos de inflexión tenemos que hacer las dos primeras derivadas:

 

 

 

 

 

Ahora como sabemos que hay un punto de inflexión en t = 6, la segunda derivada se anula para este valor:

 

 

 

b)  Para calcular los máximos de la función igualamos la primera derivada a cero:

 

 

Sustituyendo en la segunda derivada sabemos si estos valores son máximos o mínimos:

 

 

 

Como vemos hay un máximo en el 3^er mes, pero, como vamos a ver en el siguiente apartado, esos beneficios también se van a alcanzar en el último mes. Sustituyendo en la función obtenemos esos beneficios:

 

 

 

Los máximos beneficios se producen en el 3^er y en el 12⁰ mes y ascienden a 10 800 €.

 

 

c)   A partir del signo de la primera derivada obtenemos el crecimiento y decrecimiento de la función:

 

 

 

 

 

Con todo lo calculado podemos hacer la gráfica de la función: