Galicia. Examen EBAU resuelto de Matemáticas II. Julio 2022

El examen consta de 8 preguntas de 2 puntos, de las que se puede responder un MÁXIMO DE 5, combinadas como quiera. Si responde a más preguntas de las permitidas, sólo se corregirán las  5 primeras respondidas.

 

1. Números y Álgebra:

a)  Obtenga la matriz antisimétrica A de orden  tal que . Luego, calcule su inversa en caso de que exista. Nota:  es el elemento que está en la fila i y en la columna j de A.

b) Sea . Si , halle los valores de  y de  sabiendo que B no tiene inversa y que

 

a)  La matriz antisimétrica se define como aquella matriz cuadrada cuya traspuesta es igual a la negativa de la matriz: . Por lo tanto, todos los elementos de la diagonal principal deben ser nulos y el resto, es decir, los que están por encima y por debajo de esa diagonal deben ser iguales pero cambiados de signo: . Sabiendo esto podemos conocer el elemento que está en la segunda fila y la primera columna: . La matriz que nos piden es la siguiente:

Para que una matriz tenga inversa su determinante debe ser distinto de cero. Lo comprobamos en este caso:

Como vemos tiene inversa y para calcularla comenzamos hallando la adjunta de la matriz:

 

 

 

Hacemos la traspuesta:

 

Por lo tanto, la inversa sería:

 

 

 

 

b)  Como nos dicen que la matriz B no tiene inversa, eso significa que el determinante de la misma es cero:

 

 

 

Antes de seguir, nos fijamos en que la matriz A es la misma que obtuvimos en el apartado anterior, por lo que tenemos su inversa ya calculada. Ahora, para hallar el otro elemento de la matriz, primero tenemos que hacer la operación siguiente:

 

 

 

 

Como sabemos el determinante de esta matriz, podemos calcular el elemento que nos falta: