Galicia. Examen EBAU resuelto de Matemáticas CC.SS.. junio 2022

PREGUNTA 5.  Estadística y Probabilidad. Un estudio revela que 2 de cada 5 habitantes de una determinada población son menores de 30 años, el 70% de los habitantes realizan ejercicio físico con regularidad y el 30% de los habitantes son menores de 30 años y realizan ejercicio físico con regularidad.

a)  ¿Qué porcentaje de la población ni es menor de 30 años ni realiza ejercicio físico con regularidad?

b)  ¿Cuál es la probabilidad de que un habitante que no realiza ejercicio físico con regularidad sea menor de 30 años?

c)   ¿Son independientes los sucesos ser menor de 30 años y realizar ejercicio físico con regularidad? Justifique la respuesta.

 

a)   Vamos a definir los siguientes sucesos:

 

M = “habitantes de una determinada población menores de 30 años”

E = “habitantes de una determinada población que realizan ejercicio físico”

 

La probabilidad del suceso M y del suceso E los sabemos porque nos lo dice el enunciado:

 

 

La probabilidad de hacer ejercicio físico con regularidad es una probabilidad total, ya que engloba a los habitantes de menos de 30 años que realizan ejercicio, así como a los mayores de esa edad que también lo hacen. Es decir:

 

 

Como de esta ecuación sabemos la probabilidad total de hacer ejercicio y la primera de las intersecciones (el 30% de los habitantes son menores de 30 años y realizan ejercicio físico con regularidad), podemos calcular la otra intersección:

 

 

Sabemos que los dos sucesos definidos son dependientes, es decir, el hacer ejercicio físico con regularidad depende de si la persona de esa población es mayor o menor de 30 años. Esto nos permite calcular la probabilidad de hacer ejercicio sabiendo si es mayor o menor de 30 años:

 

 

 

Con todos estos datos podemos hacer un diagrama de árbol:

 

 

 

Nos piden el porcentaje de la población que ni es menor de 30 años ni realiza ejercicio físico con regularidad. Es una intersección de sucesos que calculamos a partir de los datos del diagrama:

 

 

 

El 20% de los habitantes de una determinada población ni es menor de 30 años ni realiza ejercicio físico con regularidad.

 

 

b)  En este caso nos piden una probabilidad condicionada. Queremos calcular la probabilidad de que sea menor de 30 años sabiendo que no realiza ejercicio físico con regularidad:

 

 

 

La probabilidad de que un habitante que no realiza ejercicio físico con regularidad sea menor de 30 años es de 0,33.

 

 

c)   Los sucesos ser menor de 30 años y realizar ejercicio físico con regularidad son dependientes, puesto que la probabilidad de realizar ejercicio depende de si la persona es mayor o menor de 30 años:

 

 

 

Es más probable que un habitante de esa población haga ejercicio físico con regularidad si es menor de 30 años que si es mayor de 30, por lo tanto, los sucesos “ser menor de 30 años” y “hacer ejercicio físico con regularidad” son dependientes.