Galicia. Examen EBAU resuelto de Matemáticas CC.SS.. junio 2022

PREGUNTA 2.  Álgebra. Una empresa fabrica teléfonos móviles con la misma pantalla en dos calidades distintas: calidad A, carcasa de plástico y calidad A⁺ carcasa de aluminio. El coste unitario de producción es de 70 € para los teléfonos de calidad A y de 90 € para los de calidad A⁺. Los precios de venta son de 100 € para los de clase A y de 150 € para los de clase A⁺. Si para fabricar la próxima remesa de móviles, la empresa dispone de un capital de 30 000 euros y su proveedor de componentes es capaz de suministrarle, como máximo, 350 pantallas (que se usan para ambas clases de móviles) y 310 carcasas de aluminio:

a)  Plantee el problema que determina el número de teléfonos móviles de cada calidad que se deben fabricar para maximizar el beneficio.

b)  Represente gráficamente la región factible y calcule sus vértices.

c)   Determine una solución óptima y halle el valor óptimo de la función objetivo.

 

a)   Definimos:

 

x: número de teléfonos móviles de calidad A.

y: número de teléfonos móviles de calidad A⁺.

 

Los costes de la empresa serían:

 

 

La función ingresos:

 

 

La función de beneficios y, por lo tanto, la que tenemos que maximizar es:

 

 

Como dispone de un capital de 30 000 €, los costes no pueden superar esta cantidad:

 

 

Como sólo le suministran 350 pantallas, con las que fabrica los dos modelos de móviles, el número total de estos no puede superar al número de aquellas:

 

 

Por último, las carcasas de aluminio con las que fabrica los móviles de calidad A⁺ de las que dispone son 310:

 

 

Quedaría imponer dos restricciones evidentes, el número de móviles de cada tipo tiene que ser mayor o igual a cero:

 

 

 

b)  Representamos el conjunto de soluciones e identificamos la región factible:

 

 

 

Calculamos los vértices:

 

                                    ;    

 

   ;    

 

 

 

c)   Calculamos el valor que toma la función beneficios en cada uno de los vértices:

 

 

 

 

 

 

La solución óptima de la función objetivo, que es la que proporciona más ingresos, es la del vértice C. Deberían fabricar 30 teléfonos móviles de calidad A y 310 teléfonos móviles de calidad A⁺ y obtendrían así unos beneficios de 19 500 €.