Galicia. Examen EBAU resuelto de Matemáticas CC.SS.. Julio 2021

PREGUNTA 4.  Análisis. Una empresa puede vender x unidades al mes de un determinado producto al precio de  euros por unidad. Por otra parte, el fabricante tiene gastos mensuales: unos fijos de 225 euros y otros de  euros que dependen del número x de unidades.

a)  Determine  las  funciones    y    que  expresan  los  ingresos  y  beneficios  obtenidos  por  la producción y venta de x unidades, respectivamente. ¿Qué beneficio se obtiene si se producen y se venden 10 unidades?

b)  Calcule el número de unidades que hay que producir para obtener el máximo beneficio. ¿A cuánto ascenderían dichos beneficios? ¿Cuál sería el precio de venta de una unidad en ese caso?

 

a)   Calculamos primero la función de ingresos por producir x unidades del producto:

 

 

La función que nos da los costes de producción sería:

 

 

Ahora podemos calcular la función de beneficios, que será igual a los ingresos menos los costes:

 

 

 

Nos piden el beneficio por producir y vender 10 unidades:

 

 

 

Si la empresa produce y vende 10 unidades del producto al mes obtendrá un beneficio de 1 205 €.

 

b)  Para calcular los máximos y mínimos de la función hallamos la primera derivada y la igualamos a cero:

 

 

 

Como el valor de la variable representa el número de unidades producidas, el valor negativo no tiene sentido. Comprobamos si el otro valor es un máximo o un mínimo:

 

 

 

Calculamos los beneficios por producir esas 9 unidades:

 

 

 

El precio de venta por unidad nos lo decían al principio del enunciado:

 

 

Los beneficios máximos se obtienen al producir 9 unidades del producto. En es caso los beneficios ascienden a 1 233 € y cada uno de eses productos se venden a 437 €.