Galicia. Examen EBAU resuelto de Matemáticas II. Septiembre 2020

6. Geometría:

a)  Calcule k sabiendo que los vectores  ,    y    son coplanarios.

b)  Obtenga   la   ecuación   implícita   del   plano       que   pasa   por       y   contiene   a      .

a)   Para  que  los  vectores  sean  coplanarios,  el  rango  de los tres vectores tiene que ser igual a 2, sólo determinan dos direcciones. Es decir, uno de ellos tiene que ser dependiente de los otros dos. Para calcular el rango planteamos el determinante con los tres vectores e igualamos a cero, porque no pueden tener rango 3:

Para este valor del parámetro, el rango sería menor o igual a 2. Comprobamos que es 2 calculando un determinante de este orden y comprobando que es distinto de cero.

Por lo tanto, para  los tres vectores que nos dan son coplanarios.

b)  Primero obtenemos un punto y el vector director de la recta r:

Para obtener la ecuación del plano necesitamos un punto y dos vectores directores. El punto nos lo dan y, uno de los vectores lo obtenemos de la recta. Como la recta está contenida en el plano su vector director también lo será de este. El otro vector que nos falta lo hacemos a partir de un punto de la recta, Q, y del punto P:

Obtenemos la ecuación implícita igualando a cero el determinante formado por los dos vectores y el punto: