Galicia. Examen EBAU resuelto de Matemáticas II. Septiembre 2020

4. Análisis:

a)  Calcule el área de la región encerrada por el eje X y la gráfica de .

b)  Calcule  .

a)   Para saber cuántas regiones o áreas delimita nuestra función con el eje X, vamos a calcular los puntos de corte con este eje: 

Ahora, vamos a mirar si la función va por encima del eje X antes y después de estos puntos. Incluiremos el cero, porque antes y después de este punto tenemos un trozo diferente de función:

Con esto sabemos que la función encierra solamente un área con el eje X, entre el punto 0 y el 1. Pero esa área la dividiremos en dos porque está delimitada por dos trozos diferentes de la función. Planteamos las dos integrales y las calculamos: 

El área total será la suma de las dos:

Como se puede comprobar, no es necesario dibujar la función para poder calcular el área que nos piden. Pero si lo hacemos, se puede observar el área dividida en dos partes debido, como decíamos antes, a que por la parte superior está delimitada por un trozo diferente de la función.

b)  En este apartado nos piden resolver una integral indefinida. Integral que podemos expresar de la siguiente manera:

Es inmediata y se puede resolver aplicando la fórmula siguiente:

Según esto, necesitamos tener la derivada de la base de la potencia y, para tenerla necesitamos multiplicar por 2, lo que compensamos fuera dividiendo entre el mismo número. Una vez hecho eso aplicamos la fórmula:

El resultado final es el siguiente: