Galicia. Examen EBAU resuelto de Matemáticas II. Septiembre 2020

3. Análisis:

Determine los valores de a y b que hacen que la función    sea, primero continua, y luego derivable.

Empezamos estudiando la continuidad. El primer trozo de la función es continua en , por ser el cero el único valor que anula el denominador y, el segundo, por ser polinómica, es continua en . Por lo tanto, el único punto donde puede no serlo es en el que cambiamos de dibujar un trozo a dibujar el otro, es decir en el punto . Para estudiar la continuidad ahí, debe existir el límite en el punto, es decir, que el límite por la izquierda y por la derecha existan y sean iguales y, además, el valor del límite debe ser igual al valor que toma la función en ese punto:

Para que f(x) sea continua debe cumplir:

*   En ese punto del límite llegamos a la conclusión de , porque de no ser así, es imposible que el límite por la izquierda sea igual a cero y, por lo tanto, la función no sería continua.

Estudiamos ahora la derivabilidad, que puede presentar problemas en el mismo punto de antes. Hacemos la derivada por la izquierda y por la derecha:

Para que la función sea continua y derivable los valores de los parámetros son: