Galicia. Examen EBAU resuelto de Matemáticas II. Julio 2019

4.   Da respuesta a los apartados siguientes:

a)  Sean A y B dos sucesos de un mismo espacio muestral tales que ,  y . Calcula ,  ,    y  . Razona si A y B son o no sucesos independientes.

b)  La  probabilidad  de  que  un  determinado  jugador  de  fútbol  marque un gol desde el punto de penalti es p = 0,7. Si lanza 5 penaltis, calcula las siguientes tres probabilidades: de que no marque ningún gol; de que marque por lo menos 2 goles; y de que marque 5 goles. Si lanza 2 100 penaltis, calcula la probabilidad de que marque por lo menos 1 450 goles. Se está asumiendo que los lanzamientos son sucesos independientes.

 

a)   Calculamos las probabilidades de los sucesos contrarios de A y de B: 

A partir de la probabilidad de la unión podemos calcular la de la intersección:

 

Para calcular la probabilidad que nos falta hacemos uso de una de las leyes de Morgan: 

 

Para saber si A y B son sucesos independientes calculamos las probabilidades condicionadas siguientes:

 

 

 

Vemos que la probabilidad de que ocurran el suceso A depende de si ha sucedido o no el suceso B y viceversa, por lo tanto, A y B son sucesos dependientes.

 

 

b)  Sea “X: el número de goles que un determinado jugador es capaz de marcar desde el punto de penalti”. .

 

La fórmula de la distribución binomial es:

 

 

Calculamos la probabilidad de que no marque ningún gol:

 

 

 

Para calcular la probabilidad de que marque por lo menos dos goles, calculamos el suceso contrario, es decir, que marque menos de dos goles:

 

 

 

 

 

 

Calculamos ahora la probabilidad de que marque todos los penaltis que lanza:

 

 

 

Si lanza 2 100 penaltis tendríamos que calcular muchas probabilidades, por eso vamos a comprobar si podemos aproximar la distribución binomial por una normal:

 

   ⇒   

 

⇒  

 

Como vemos se puede aproximar a una distribución normal. Ahora calculamos la probabilidad pedida haciendo antes la corrección de Yates:

 

 

 

Si lanza 2 100 penaltis, la probabilidad de que marque por lo menos 1 450 goles es de 0,8365.