Galicia. Examen EBAU resuelto de Matemáticas II. Julio 2019

3.   Se pide:

a)  Para el plano    y la recta        , calcular el punto de corte de r con  y obtener la ecuación implícita del plano  que es perpendicular a  y contiene a r.

b)  Estudiar la posición relativa de los planos    y  , y calcular el ángulo   que forman.

a)   Antes de nada, vamos a poner la recta r en las ecuaciones paramétricas:

Para calcular la posición relativa de la recta y el plano, sustituimos las ecuaciones paramétricas de la recta en la ecuación implícita del plano y resolvemos: 

Para calcular el punto de corte solo tenemos que sustituir el valor del parámetro en las ecuaciones paramétricas de la recta: 

El punto de intersección será el .

Para determinar el plano que nos piden necesitamos un punto y dos vectores que le den dirección. El punto podemos obtenerlo de la recta r, puesto que esta recta debe estar contenida en el plano. Uno de los vectores será igualmente el vector director de la recta y el otro el vector normal del otro plano, ya que, al ser perpendicular a él, estará contenido en el nuevo plano:

Observamos que este plano obtenido, si lo simplificamos, se obtiene el que nos dan en el apartado siguiente.

b)  Los vectores normales de cada uno de los planos son: 

Con los vectores no son proporcionales, los planos no pueden ser ni paralelos ni coincidentes, por lo tanto, son secantes. Calculamos el ángulo que forman: