Galicia. Examen EBAU resuelto de Matemáticas II. Julio 2019

2.   Da respuesta a los apartados siguientes:

a)  Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos de la función .

b)  Considérese un triángulo tal que: dos de sus vértices son el origen O(0,0) y el punto P(1,3), uno de sus lados está sobre el eje X y otro sobre la tangente en P(1,3) a la gráfica de la parábola . Se pide calcular las coordenadas del tercer vértice, dibujar el triángulo y calcular, por separado, el área de las dos regiones en las que el triángulo queda dividido por la parábola .

 

a)   Lo primero es calcular el dominio de definición de la función. Como tenemos un logaritmo y estos sólo se pueden calcular de números positivos, será:

Necesitamos la derivada de la función: 

 

Igualamos a cero para obtener los puntos críticos:

 

El cero no está en el dominio de la función. Con el otro valor hacemos intervalos y vemos el signo que toma la primera derivada:

  

Escribimos los intervalos de crecimiento y decrecimiento, sabiendo que la función crece cuando la primera derivada es positiva y decrece cuando es negativa:

Como antes del punto crítico la función decrece y a partir de él crece, habrá un mínimo. Calculamos la coordenada Y del punto:

 

 

 

b)  Empezamos calculando la ecuación de la recta tangente a la parábola, para eso necesitamos la primera derivada:

 

 

La pendiente nos la da la derivada de la función en la abscisa del punto de tangencia, es decir, en este caso:

 

 

Así entonces, tenemos el punto de tangencia (1,3) y la pendiente . Con lo que utilizando la ecuación punto-pendiente, tenemos la recta tangente a la parábola:

 

 

 

El tercer vértice del triángulo es el punto de corte de esta recta con el eje X:

 

 

Hacemos un dibujo con todos los datos:

 

 

 

Primero calculamos el área A₁, que es un triángulo rectángulo:

 

 

 

 

Ahora calculamos A₂ que es el área que encierra la parábola con el eje OX entre los puntos 1 y 2:

 

 

Por lo tanto, el área del triángulo que queda a la izquierda de la parábola será:

 

 

Para calcular la otra área, calculamos primero el área total del triángulo:

 

 

Por último, el área del triángulo que queda a la derecha de la parábola será: