Galicia. Examen EBAU resuelto de Matemáticas CC.SS.. Julio 2019

2.  Considera la función   .

 

 

a)  Representa  la  función  estudiando  sus  puntos  de  corte  con  los ejes, monotonía y extremos relativos. ¿Para qué valores de x es ?

b)  Calcula el área del recinto limitado por los ejes y la parte de la función tal que .

 

a)   Empezamos estudiando los puntos de corte:

 

Corte eje OX:  y = 0

 

 

 

Hay que tener la precaución de comprobar que los puntos obtenidos pertenezcan al dominio de definición de cada uno de los trozos. En este caso sí lo son, por lo tanto, tenemos 3 puntos de corte.

 

Corte eje OY:  x = 0

 

   ⇒   Punto de corte: 

 

El segundo trozo no toma el valor cero, por lo que no va a cortar el eje Y.

 

Monotonía:

 

Hacemos la primera derivada e igualamos a cero:

 

 

 

Miramos ahora el signo de la derivada en los intervalos resultantes:

 

 

 

Los intervalos de crecimiento y decrecimiento quedarán de la siguiente forma:

 

 

 

Extremos relativos:

 

Sabemos que en x = 2 hay un punto crítico. En este caso hay un mínimo, porque la función antes decrece y después crece. Calculamos la coordenada y de este punto:

 

 

Con estos datos podemos dibujar la función:

 

 

 

La última pregunta de este apartado es fácil de contestar viendo la gráfica. La función toma valores positivos en los siguientes intervalos:

 

 

 

b)  El área que nos piden es justamente la que encierran las funciones con el eje X. Para calcularla tenemos que dividirla en 3 intervalos, ya que entre 3 y 7 el área por la parte superior está encerrada por dos funciones distintas. Calculamos cada una de esas áreas:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Las dos primeras áreas son iguales porque ese trozo de función, la parábola, es simétrica. Sumando obtenemos el área pedida: