Galicia. Examen EBAU resuelto de Matemáticas II. Septiembre 2017

1.   Dadas las matrices :

 

 

 

a)  Determina, según los valores de k, el rango de las matrices  y .

b)  Para el valor de , determina las matrices X que verifican .

 

 

a)  Empezamos calculando la matriz :

 

 

Como mucho el rango de la matriz es tres, para comprobarlo vamos a calcular el rango de la matriz por medio de determinantes:

 

 

Como el determinante de orden 3 es cero para cualquier valor de k, el rango . Vamos a comprobar si es dos, para ello, llega con encontrar algún determinante de este orden distinto de cero, por ejemplo:

 

 

En conclusión, el rango de la matriz A·B es igual a 2 para cualquier valor de k.

 

Estudiemos ahora el rango de la matriz :

 

 

Ahora como vemos, como mucho el rango de la matriz es 2 y lo comprobamos haciendo el determinante e igualándolo a cero:

 

 

En este caso el rango va a depender del valor de k:

 

·    Si , ya que el determinante de este orden será distinto de cero.

·    Si , ya que habrá algún elemento de la matriz no nulo. 

 

b)  Para obtener la matriz A·B para el valor de k = 0, solo tenemos que substituir este valor en la matriz que teníamos en el apartado a):

 

 

La ecuación entonces nos quedará:

 

 

Deducimos que la matriz X tiene que ser 31, para que se pueda hacer la multiplicación y para obtener la matriz que se obtiene.

 

 

Operando:

 

 

Igualamos cada elemento de una matriz al de la otra y tenemos un sistema:

 

 

Se ve fácilmente que si sumamos las dos primeras ecuaciones obtenemos la tercera, por lo que podemos eliminar una de ellas y, al tener menos ecuaciones que incógnitas, nos quedará un sistema compatible indeterminado:

 

 

A una de las incógnitas, por ejemplo, a la z, le vamos a dar un parámetro y resolvemos:

 

 

Así entonces, las matrices X que verifican la ecuación que nos planteaban son: