Galicia. Examen EBAU resuelto de Matemáticas II. Septiembre 2017

3.   Dados los planos   y la recta .

 

 

a)  Estudia la posición relativa de los planos  y . Calcula la distancia entre ellos.

b)  Calcula la ecuación implícita o general del plano que es perpendicular a  y contiene a la recta r.

 

c)   Sean P y Q los puntos de corte de la recta r con los planos XY e YZ respectivamente. Calcula la distancia entre P y Q.

 

a)  El  plano    está  en  la  ecuación  general  o  implícita, mientras que el plano    está en las ecuaciones paramétricas. Vamos a pasarlo también a la ecuación general:

 

 

Si dividimos una de las ecuaciones de los planos entre la otra, sabremos la posición relativa de uno con respecto al otro:

·    Si        los planos son coincidentes.

·    Si        los planos son paralelos.

·    Si     o     o     los planos son secantes.

 

Vamos a comprobarlo en nuestro caso:

 

 

La distancia entre dos planos paralelos podemos calcularla así:

 

 

La distancia entre los dos planos es:

 

 

b)  La recta r vamos a ponerla en las ecuaciones paramétricas, para eso vamos a pasar la z como parámetro:

 

 

De las ecuaciones paramétricas de la recta, podemos sacar un punto y el vector director:

 

 

Como tenemos que hacer un plano que contenga a la recta, para hacerlo cogeremos de la recta el punto y el vector director. Además, necesitamos otro vector contenido en el plano que queremos hacer. Este vector será el vector normal del plano , puesto que nuestro plano tiene que ser perpendicular a él, y por lo tanto va a contener este vector:

 

 

El plano que nos piden, simplificado, será:

 

 

c)   Vamos  a  calcular  los puntos P y Q que nos dice el enunciado. Cualquier punto contenido en el plano XY cumplirá que la coordenada z es cero. Sabiendo esto, podremos calcular el punto P:

 

 

Hacemos lo mismo para calcular el punto Q. En este caso como es el punto de corte con el plano YZ, se cumplirá que la coordenada x es cero:

 

 

La distancia entre dos puntos es igual al módulo del vector que va desde un punto al otro: