Galicia. Examen EBAU resuelto de Matemáticas II. Junio 2017

3.   Dados los planos  ;   

a)        Estudia la posición relativa de  y . Si se cortan, calcula el ángulo que forman.

b)        Sea r la recta que pasa por el punto P(1,1,1) y es perpendicular a . Calcula el punto de corte de r y .

c)        Calcula el punto simétrico del punto P(1,1,1) respecto del plano .

a)  El  plano    está  en  la  ecuación  general  o  implícita, por lo que su vector normal es  , mientras que el plano    está en las ecuaciones paramétricas. Vamos a pasarlo también a la ecuación general:

Por lo tanto, el vector normal de este plano sería . Por lo que podemos calcular el ángulo que forman los dos planos:

b)  Vamos a calcular una recta r, perpendicular al plano que pase por el punto P. Por lo tanto, el vector director de esa recta llevará la misma dirección que el vector normal del plano:

Ahora vamos a calcular el punto M, donde se corta la recta s y el plano . Para ello substituimos las ecuaciones paramétricas de la recta en el plano:

Con el valor del parámetro calculamos el punto sustituyéndolo en las ecuaciones paramétricas de la recta:

c)   El punto simétrico que nos piden es el punto P’ y el punto M calculado en el apartado anterior es el punto medio del punto P y del que nos piden: