Galicia. Examen EBAU resuelto de Matemáticas CC.SS.. Septiembre 2017

1)  Una  fábrica  de  materiales  plásticos produce dos tipos de contenedores A y B. Su producción semanal debe ser de por lo menos 10 contenedores en total y el número de contenedores de tipo B no puede superar en más de 10 al número de los de tipo A. Además, cada contenedor de tipo A tiene unos costes de producción de 150 € y cada contenedor de tipo B de 100 €, disponiendo de un máximo de 6 000 € semanales para el coste total de la producción.

 

(a)    Formula el sistema de inecuaciones. Representa la región factible y calcula sus vértices.

 

(b)    Si cada contenedor de tipo A genera unos beneficios de 130 € y el de tipo B de 140 €, ¿cuántos contenedores de cada tipo tendrán que producir a la semana para que el beneficio total semanal sea máximo?

 

 

(a)    Las restricciones del problema serían las siguientes:

 

x: nº de contenedores tipo A.

y: nº de contenedores tipo B.

 

La producción semanal debe ser de por lo menos 10 contenedores en total:

 

 

El número de contenedores tipo B no puede superar en más de 10 al número de los de tipo A:

 

 

Como disponemos de un máximo de 6 000 € semanales y los contenedores tipo A tienen unos costes de 150 € y los de tipo B de 100 €:

 

 

 

Cuando representemos vamos a darnos cuenta de que necesitamos una restricción, lógica, que no nos dice el enunciado:

 

La representación y la obtención de la región factible sería:

 

 

 

 

 

Si nos fijamos en la representación de las restricciones, nos damos cuenta de que no es necesario añadir, además de las que pusimos, otra restricción que también sería lógica: , porque las otras ya nos eliminan el área del dibujo que nos eliminaría esa restricción. Los vértices serían:

       ⇒                ;          ⇒     

 

   ⇒        ;         ⇒     

 

 

 

(b)    La función de beneficios sería:

 

 

Calculamos el valor que toma esta función en cada uno de los vértices:

 

A ⇒

B ⇒

C ⇒   ⇒  Alcanza el máximo

D ⇒

 

La función alcanza el valor máximo en el punto C, por lo que, habrá que producir 20 contenedores tipo A y 30 contenedores tipo B para obtener un beneficio semanal máximo.