Galicia. Examen EBAU resuelto de Matemáticas CC.SS.. Septiembre 2017

2)  El precio en euros de las acciones de cierto grupo empresarial a lo largo de un año se ha estimado por la función:

 

siendo t el tiempo transcurrido en meses.

 

(a)    Determina los periodos en los que ha aumentado y en los que ha disminuido el precio y calcula su precio máximo y su precio mínimo.

(b)    Determina el periodo en el que le precio de las acciones ha sido inferior o igual a 13,75 euros. Representa la gráfica de la función P(t).

 

 

(a)    Para determinar los periodos en los que ha aumentado o disminuido el precio, estudiaremos el crecimiento y decrecimiento de la función y lo hacemos con la primera derivada:

 

 

Igualamos a cero la primera derivada para calcular los puntos críticos:

 

 

Teniendo en cuenta el dominio de la función  y el posible extremo relativo, estudiamos el crecimiento de la función mirando el signo que toma la primera derivada:

 

 

 

Por lo tanto, el precio de las acciones aumentó durante el primer mes y después desde el tercero al duodécimo y disminuyó desde el primer al tercer mes.

 

Como vemos la función tiene un máximo en el primer mes, ya que antes la función crece y después decrece. Para saber si es el máximo absoluto y para calcular los mínimos vamos a calcular qué valor toma la función a tiempo cero, en el tercer mes y en el mes duodécimo:

 

 

 

 

 

El precio máximo de las acciones fue de 16 € el primer mes y el mínimo fue de 12 € el tercer mes.

 

(b)    Para saber cuándo estuvieron las acciones por debajo de 13,75 € resolvemos las siguientes inecuaciones:

 

 

La primera nos quedará:

 

 

Resolvemos la ecuación de segundo grado:

 

 

El resultado negativo no nos vale porque no está en el dominio de nuestra función. Con el otro valor miramos el signo que toma la inecuación:

 

 

 

Como vemos, entre la mitad del segundo mes y el tercero las acciones tuvieron un precio menor o igual a 13,75 €. Vamos a ver lo que sucede a partir del tercer mes:

 

 

En el intervalo de definición de este intervalo, las acciones estuvieron por debajo del precio que nos decía el enunciado antes de 8,25 meses. Por lo tanto, la solución sería:

 

Las acciones estuvieron a un precio igual o inferior a 13,75 € entre  meses.

 

Con los datos que tenemos podemos dibujar la gráfica de la función, que sería la siguiente: