Galicia. Examen EBAU resuelto de Física. Septiembre 2017

P1.   Dada  una  esfera  maciza  conductora de 30 cm de radio y carga , calcula el campo eléctrico y el potencial en los siguientes puntos:

a)   A 20 cm del centro de la esfera.

b)  A 50 cm del centro de la esfera.

c)   Haz una representación gráfica del campo eléctrico y del potencial en función de la distancia al centro de la esfera.

 

DATO:

 

 

a)  En este problema no tenemos una carga puntual, si no una distribución de carga. Así, para calcular el campo necesitamos utilizar el teorema de Gauss, que nos dice que el flujo a través de una superficie cerrada S es proporcional a la carga eléctrica neta Q que encierra dicha superficie:

 

 

En este caso como tenemos una esfera de un material conductor, la carga se distribuye uniformemente por su superficie, no quedando carga alguna en el interior. Para el cálculo del campo, tomaremos como superficie de Gauss, otra esfera interior:

 

 

 

Aplicando el teorema, el valor de la integral es:

 

 

Como la superficie de Gauss no encierra carga alguna:

 

 

Como consecuencia, en cualquier punto del interior del conductor, el campo eléctrico es nulo.

 

En cuanto al potencial, sabemos que:

 

 

Lo que implica que el potencial electrostático es igual en todos los puntos del interior del conductor.

 

 

b)  Aplicando otra vez el mismo teorema, ahora tomamos como superficie gaussiana otra esfera, pero ahora con un radio mayor que la esfera cargada:

 

 

 

Ahora la esfera de Gauss contiene toda la carga del éste, por lo tanto, resulta que la intensidad de campo sería:

 

 

Como vemos nos queda exactamente la misma fórmula que la que crea una carga puntual. Pasando la carga a culombios y el radio a metros obtenemos el campo:

 

 

Calculemos entonces el potencial:

 

 

Como el campo es radial:

 

 

El potencial nos quedará:

 

 

Si asignamos un valor cero de potencial a los puntos situados a distancia infinita de la carga, obtenemos:

 

 

Si el campo lo podemos calcular como si de una carga puntual se tratara, el potencial sucede lo mismo, por lo que sería:

 

 

c)   Con todo lo calculado en apartados anteriores, vemos que el campo es nulo en el interior de la esfera y disminuye según nos alejamos de su superficie:

 

 

El potencial es constante y máximo en el interior de la esfera y también disminuye a medida que nos alejamos de la superficie: