Galicia. Examen PAU resuelto de Matemáticas II. Septiembre 2016

1.   Dada la matriz 

 

 

a)  Calcula,  según los valores de a, el rango de A. Calcula, si existe, la inversa de A cuando  .

b)  Para    calcula la matriz B que verifica  .

c)   Para  , calcula todas las matrices    tales que  .

 

 

a)  Empezamos calculando el determinante de la matriz A:

 

 

Igualamos a cero el resultado del determinante para saber que valores lo anulan:

 

 

Para valores distintos de 1, el determinante de orden 3 es distinto de cero y por lo tanto el rango de A es 3. Veamos qué ocurre cuando . Para este valor la matriz nos quedaría:

 

 

El rango de esta matriz es 2, ya que hay algún determinante de este orden distinto de cero:

 

 

Tendríamos, por lo tanto, los siguientes casos:

 

·    Si  .

·    Si  .

 

Para    la matriz nos quedaría así:

 

 

Para esta matriz existe inversa, ya que para este valor el determinante de la matriz es no nulo:

 

 

Vamos, ahora, a calcular la matriz adjunta:

 

 

 

Hacemos ahora la traspuesta de la adjunta:

 

 

La matriz inversa quedaría así:

 

 

b)  Vamos a despejar la matiz B de la ecuación. Para ello, recordamos que el producto de una matriz por su inversa da la matriz identidad y el producto de cualquier matriz por la matriz identidad da la propia matriz:

 

 

 

 

Operando:

 

 

c)   Del primer apartado ya teníamos la matriz para  :

 

 

Por lo tanto, la ecuación matricial será la siguiente:

 

 

Igualando los elementos de ambas matrices obtenemos un sistema compatible indeterminado, puesto que las dos primeras ecuaciones son proporcionales, por lo que podemos eliminar una de ellas.

 

Así entonces las matrices que buscamos serán de la siguiente forma: