Galicia. Examen PAU resuelto de Matemáticas II. Junio 2016

 

1.    

a)  Calcula todas las matrices  de rango 2 tales que su inversa sea , es decir, , siendo    la matriz unidad de orden 2.

b)  Dada la matriz

 

 

                   i.    Calcula según los valores de m, el rango de M.

                 ii.    Para el valor , calcula todas las matrices  tales que .

 

a)  Vamos a calcular la matriz :

 

 

Ahora calculamos la matriz inversa de A, para ello, primero calculamos el determinante:

 

Ahora, calculamos la adjunta:

 

Hacemos la traspuesta:

Por lo tanto, la inversa sería:

 

Igualamos esta matriz a la matriz calculada anteriormente:

 

 

Al igualar cada elemento de una matriz con el correspondiente de la otra obtenemos el siguiente sistema:

 

Con los valores de a y b obtenidos en las dos últimas ecuaciones comprobamos si cumplen la primera:

 

Como la cumplen y además como el determinante de cualquiera de las dos es distinto de cero, serán de rango 2, por lo que las matrices pedidas son:

 

 

b)   

               i.    Vamos  a   calcular   el   rango   por  determinantes,  para  lo  cual   empezaremos  calculando  el determinante de la matriz dada:

 

 

Lo igualamos a cero y resolvemos:

 

 

Para :

 

 

Para :

 

 

Por lo tanto el rango de la matriz en función de los valores de m será:

 

 

              ii.    La ecuación que tenemos que resolver para el valor de , queda:

 

 

Evidentemente, podemos comprobar que z puede tomar cualquier valor, puesto que al estar multiplicado en todas las ecuaciones por cero no influye en el resultado. Si además quitamos la segunda ecuación porque se cumple siempre, nos queda:

 

Por lo tanto hay infinitas matrices que nos cumplen la ecuación y serían de la forma: