Galicia. Examen PAU resuelto de Matemáticas CC.SS.. Junio 2015

4.   Una compañía de seguros afirma que por lo menos el 90% de sus demandas se resuelven en menos de treinta días. Para comprobar dicha afirmación, una asociación de consumidores eligió una muestra aleatoria de 120 demandas contra la compañía y encontró que 102 de ellas se habían resuelto en menos de treinta días.

(a)   Formula  un  test  para contrastar la información de la compañía de seguros frente a que el porcentaje de demandas que se resuelven en menos de treinta días no supera el 90%.

(b)     ¿A qué conclusión se llega con un 5% de nivel de significación? ¿Se llega a la misma conclusión si el nivel de significación es del 1%?

(a)     Sea  “p = proporcional  (poblacional)  de  demandas  que resuelve una compañía de seguros antes de treinta días”.

Tenemos que si   es el estadístico proporción de la muestra de demandas que se resuelven en menos de treinta días, el valor particular que toma este estadístico para la muestra dada es: 

Formulamos el test para contrastar la información de la compañía de seguros:

Las hipótesis nula y alternativa son: 

(b)     Vamos a ver a qué conclusión se llega con un nivel de significación del 5%:

El estadístico de prueba sería: 

Para un nivel de significación del 5%, establecemos la región crítica:  

Evaluamos el estadístico de prueba, “bajo H₀ cierta”, para la muestra dada: 

Como     Rechazo H₀. Con los datos de esta muestra y con el  riesgo  de  equivocarnos  del  5%, concluiríamos que el porcentaje de demandas que resuelve la compañía en treinta días es menor del 90% (el último riesgo de   equivocarnos,   ante   esta   afirmación,   es   el  valor  de , es decir, de un 3,36%, siendo por lo tanto el test muy significativo).

Vamos a ver si se llega a la misma conclusión con un nivel de significación del 1%:

Establecemos la nueva región crítica:

Como     Acepto H₀. No llegaríamos a la misma conclusión, ya que con el  riesgo  de  equivocarnos  del  1%, concluiríamos que el porcentaje de demandas que resuelve la compañía en treinta días es de por lo menos del 90%.