Galicia. Examen PAU resuelto de Matemáticas CC.SS.. Junio 2015

2.    Un restaurante ha sido abierto al público a principios de 2006 y la función:

indica cómo han evolucionado sus beneficios (en miles de euros) en función del tiempo t (en años) transcurrido desde su apertura, correspondiendo t = 0 a principios de 2006.

(a)    Estudia    en    qué    periodos    se    ha    producido    un    aumento    y   en     los    que    se   ha  producido una disminución de sus beneficios. ¿A cuánto han ascendido sus beneficios máximos? ¿En qué año los han obtenido?

(b)    Representa    la    gráfica    de    la    función    B(t).    ¿En   algún    año   después   de   su  apertura  no obtuvieron beneficios? ¿A partir de algún año ha dejado de ser rentable el restaurante?

(a)    Para    calcular    cuando    se    ha    producido    un    aumento    o    una   disminución    de    los   beneficios  calculamos la primera derivada:

Igualamos la primera derivada a cero para calcular los posibles máximos y mínimos y hacer los intervalos de crecimiento y decrecimiento:

Los beneficios aumentan los dos primeros años y del tercer año al séptimo y disminuyen del segundo al tercer año.

Para calcular los beneficios máximos y mínimos así como a cuanto han ascendido calculamos el valor que toma la función en los siguientes años:

El beneficio máximo se produce a los dos años con 40.000 €.

(b)     Dando valores representamos la función:

Se observa perfectamente en la gráfica, que en el sexto año el beneficio es nulo y a partir de ese momento y hasta el séptimo año el restaurante tiene pérdidas. Por lo tanto, el restaurante no es rentable a partir del sexto año.