Galicia. Examen PAU resuelto de Matemáticas II. Septiembre 2013

4.   a)   Define primitiva de una función y enuncia la regla de Barrow.

b)   Calcula  .

a)   La definición de primitiva podría ser esta:  Se dice que F(x) es una primitiva de f(x) cuando F’(x)=f(x). Si F(x) es una primitiva de f(x), entonces F(x)+C (C Є ℝ) es también una primitiva de f(x). Las primitivas de f(x) se calculan resolviendo la integral  .

El enunciado de la regla de Barrow sería: Si f(x) es una función continua en [a,b] y F(x) una primitiva cualquiera de f(x) en [a,b], se cumple  que  .

b)   Primero vamos a resolver la integral indefinida, sin límites de integración, y al final tendremos en cuenta estos:

Como el numerador es más grande que el denominador, para empezar, vamos a hacer la división:

Aplicando la regla de la división, podemos poner la integral de la siguiente manera:

Esta integral que nos queda ahora, vamos a descomponerla en otras dos más sencillas, para ello hacemos lo siguiente:

Como los denominadores de estas fracciones son iguales, para que las fracciones también lo sean, sólo queda igualar los numeradores. De ahí calculamos los valores de A y de B:

Ahora ya podemos descomponer la integral que nos quedó sin hacer, en otras dos más sencillas:

Tenemos la integral resuelta, sólo nos queda poner todas las soluciones que hemos ido obteniendo y calcular la integral definida:

El resultado final es: