Galicia. Examen PAU resuelto de Matemáticas II. Septiembre 2013

 2.  a)   Dado el plano    calcula las ecuaciones en forma continua de la recta r que pasa

             por el punto    y es perpendicular a α. Calcula el punto de corte de r con α.

b) Calcula la ecuación implícita o general del plano que pasa por los puntos    y    y es perpendicular al plano  α.

c) Calcula   las   ecuaciones    paramétricas   de   la   recta   intersección   del   plano    con el plano α.

a)   Para calcular la ecuación de la recta necesitamos un punto, ya lo tenemos, el P, y un vector director. Como la recta tiene que ser perpendicular al plano, el vector normal del plano tiene la dirección que va a llevar la recta. Para calcularlo hacemos el producto escalar de los vectores contenidos en el plano:

Ahora podemos hacer la ecuación continua de la recta:

Para calcular el punto de corte de la recta y el plano, vamos a poner la recta en las ecuaciones paramétricas:

El plano lo vamos a poner en la ecuación general. Para eso necesitamos el vector normal (que ya lo calculamos) antes:

Ahora para calcular D, necesitamos un punto. Lo sacamos de las ecuaciones paramétricas del plano, sería  . Lo substituimos en la ecuación anterior y tenemos el plano en la ecuación general:

La ecuación del plano la podemos simplificar y quedará:

Para calcular el punto de corte sólo tenemos que substituir las ecuaciones paramétricas de la recta en el plano y calcular t:

Este valor de t lo substituimos en las ecuaciones paramétricas de la recta y ya tenemos el punto de corte de la recta r y el plano α:

b)   Para  hacer  la  ecuación  del  plano,  que  llamaremos  ,  necesitamos  dos  vectores  linealmente  independientes  contenidos en el plano y un punto. Uno de los vectores puede ser el    y el otro el vector normal del plano α. Con eso y uno de los puntos (P o Q), tenemos determinado el plano pedido:

c)    Para  calcular  la  ecuación  paramétrica de la recta intersección de los planos  y , resolvemos el sistema entre las ecuaciones de ambos planos. Como el sistema va a ser compatible indeterminado, puesto que tiene que tener infinitas soluciones que son los infinitos puntos de la recta, ponemos una incógnita como parámetro:

Ahora por Cramer calculamos los valores de x e y:

Con este cálculo ya estamos en disposición de poner las ecuaciones paramétricas de la recta, que llamaremos s: