Galicia. Examen PAU resuelto de Matemáticas II. Septiembre 2013

2.    Sean las rectas  r:    y  .

a)   Estudia la posición relativa de r y s. Si se cortan calcula el punto de corte. Si determinan un plano, calcula la ecuación general o implícita de ese plano.

b)   Estudia la posición relativa de r y el plano π: . Calcula la distancia de r a π.

a)   Para estudiar la posición relativa, vamos a sacar de cada una de las rectas el vector director y un punto. Para eso vamos a poner la recta r en las ecuaciones paramétricas:

Por lo tanto el punto y el vector director de r son:   y  . Como no nos interesa el módulo del vector, sólo la dirección, podemos multiplicarlo todo por el mismo número. Eso nos simplificará posteriormente los cálculos:   .

Y el punto y el vector de la recta s:    y 

Hacemos un vector que va de un punto de una recta al otro punto de la otra: 

Ahora vamos a calcular el rango de las matrices formadas por los dos vectores directores y por los dos vectores directores y otro vector calculado con los puntos de las rectas. Es decir:

El rango de A = A^* = 2, ya que    y el determinante de orden 3 de A^* da cero, porque tiene

las dos últimas filas iguales. Esto significa que las rectas se cortan en un punto.

Para calcular el puno de corte igualo las ecuaciones paramétricas de las dos rectas:

Ahora simplemente substituyendo el valor de t en la recta s o el valor de  en la r, obtenemos el punto de corte, que sería:  .

Al tener las matrices anteriores rango 2, o al cortarse en un punto, las dos rectas determinan un plano. Para calcular la ecuación implícita, simplemente necesitamos dos vectores del mismo que no tengan la misma dirección (nos valen los dos vectores directores de las rectas) y un punto (cualquiera de los puntos de r o de s):

b)   El plano    es un plano paralelo al plano   que acabamos de calcular (si multiplicamos   por  , obtenemos: ). Por consiguiente, como la recta r está contenida en    y éste es paralelo a  , la recta r y el plano   son paralelos.

La distancia de r a    coincide con la distancia entre los dos planos y para calcular ésta aplicamos la fórmula: