Galicia. Examen PAU resuelto de Matemáticas II. Septiembre 2013

1.     

a)   Sea M una matriz cuadrada de orden 2 tal que  . Determina la matriz X que verifica la ecuación matricial  , siendo I la matriz identidad de orden 2.

b)   Determina todas las matrices B de la forma    que verifiquen  . Si alguna es inversible, calcula su inversa.

c)    ¿Cuándo un sistema de ecuaciones lineales se dice homogéneo? ¿Puede ser incompatible un sistema de ecuaciones lineales homogéneo? Justifica la respuesta.

a)   Vamos, primero a desarrollar la identidad notable que aparece en la ecuación:

Las identidades notables no se cumplen con matrices, ya que estas no cuentan entre sus propiedades con la conmutativa, pero en este caso y al ser una de ellas la matriz identidad es lo mismo el producto de M·I que el de I·M. Por lo tanto la expresión quedará:

Ahora, como sabemos que  , substituimos:

Vamos a la ecuación y despejamos:

Calculamos la matriz:

b)   Calculamos las dos matrices en cuestión:

Igualamos:

Para que dos matrices sean iguales, tienen que ser iguales cada uno de sus correspondientes elementos:

Empezando por la segunda ecuación tenemos dos posibilidades:

Por lo tanto las matrices serán:

De las cuatro matrices sólo la segunda es invertible, porque es la única que su determinante es distinto de cero:

Para calcular la inversa, vamos a hacer la adjunta de la matriz:

La traspuesta de la adjunta coincide con esta última, por lo tanto podemos escribir la inversa:

c)    Un sistema de ecuaciones lineales es homogéneo cuando los términos independientes son todos nulos. Por este motivo la matriz de los coeficientes, asociada al sistema, y la matriz ampliada, que además de estos tiene los términos independientes van a tener el mismo rango. Como consecuencia este tipo de sistemas va a ser siempre compatible.