Galicia. Examen PAU resuelto de Matemáticas CC.SS.. Septiembre 2013

4) En un estudio sobre higiene dental, el porcentaje de niños que presentaron indicios de caries, utilizando un dentífrico tradicional fue de, por lo menos, el 10%. En un grupo de 500 niños elegidos aleatoriamente que utilizaron un nuevo dentífrico, presentaron indicios de caries 35 de ellos.

(a)     Formula un test para contrastar la hipótesis de que la proporción de niños con indicios de caries usando el nuevo dentífrico es la misma que con el tradicional, frente a la hipótesis de que se reduce, ¿a qué conclusión se llega con un nivel de significación del 5%?

(b)  Calcula un intervalo del 95% de confianza para la proporción de niños con indicios de caries utilizando el nuevo dentífrico.

(a)     Sea “p: proporción de niños que presentan indicios de caries usando un nuevo dentífrico”.

: proporción muestral de niños que presentan indicios de caries usando un nuevo dentífrico en muestras de 500 niños.

Las hipótesis nula y alternativa son: 

El estadístico de prueba sería: 

Establecemos la región crítica: 

Evaluamos el estadístico de prueba, “bajo H₀ cierta”, para la muestra dada:

Como     Rechazo H₀. Con los datos de esta muestra y con el  riesgo  de  equivocarnos  del  5%, concluiríamos que la proporción de niños con indicios de caries utilizando un nuevo dentífrico  es  menor  que  la  proporción de niños con indicios de caries utilizando un dentífrico tradicional (el último   riesgo   de   equivocarnos,   ante   esta   afirmación,   es   el  valor  de , es decir, de un 1,25%, siendo por lo tanto el test muy significativo).

(b)     La expresión del intervalo de confianza para la proporción sería:

Como  :

Los extremos del intervalo son 0,0476 y 0,0924, por lo tanto en base a la muestra dada, se estima con un 95% de confianza, que la proporción de niños con indicios de caries utilizando un nuevo dentífrico está entre un 4,76% y un 9,24%.