Galicia. Examen PAU resuelto de Física. Septiembre 2013

OPCIÓN B

 

P1.    Una bola colgada de un hilo de 2 m de longitud se desvía de la vertical un ángulo de 4⁰, se suelta y se observan sus oscilaciones. Hallar: a) la ecuación del movimiento armónico simple;  b)  la  velocidad  máxima  de  la bola  cuando  pasa  por  la  posición  de  equilibrio; c) comprueba el resultado obtenido en el apartado anterior, utilizando la ecuación de la conservación de la energía mecánica.

 

 

a)   Para calcular la ecuación del movimiento armónico, lo primero que vamos a calcular es la amplitud de oscilación:

Ahora calculamos el período de oscilación:

Ahora partir del período calculamos la frecuencia angular:

La ecuación del movimiento armónico sería:

Substituyendo en la ecuación tenemos:

Como cuando empezamos a contar el tiempo (t = 0), la bola se encuentra en la máxima elongación, x = A, por lo tanto la fase inicial es:

Así pues la ecuación del movimiento será:

 

b)   Si tenemos la ecuación de posición podemos obtener fácilmente la de la velocidad:

Para calcular la velocidad en la posición de equilibrio (2), sólo necesitamos saber el tiempo que transcurre hasta que la bola llega ahí. Como sabemos que el período es el tiempo que tarda en dar una oscilación completa y volver al mismo punto, el tiempo que estamos buscando es T/4. Así pues, calculamos la velocidad en 2:

El signo indica que se está desplazando hacia elongaciones negativas.

 

c)    Si utilizamos la ecuación de la conservación de la energía mecánica tenemos:

Tomamos altura cero en el punto B, por lo tanto la energía potencial en este punto también será cero. Además la energía cinética en el punto A es igualmente cero, porque la bola en ese punto parte con velocidad inicial nula:

Necesito, ahora, calcular la altura a la que se encuentra el punto A respecto del B (h₁):

Por último, podemos calcular, mediante energías, la velocidad de la bola en la posición de equilibrio:

Como se está desplazando hacia elongaciones negativas, en realidad la velocidad sería .